Может ли существовать контроллер без @Controller

Да, может. В Spring контроллер можно создать с помощью других аннотаций, например @RestController (комбинация @Controller + @ResponseBody). Также можно использовать @Component или @Service, но тогда нужно явно указать маппинг через @RequestMapping или аналоги. Однако, это не рекомендуется, так как нарушает семантику слоев.

Пример с @RestController:

@RestController
public class MyController {
    @GetMapping("/hello")
    public String hello() {
        return "Hello World";
    }
}

Или менее очевидный вариант с @Component:

@Component
@RequestMapping("/api")
public class CustomController {
    @GetMapping("/test")
    public String test() {
        return "It works!";
    }
}