Можно ли обработать непроверяемое исключение

Непроверяемые исключения (unchecked) — это RuntimeException и его наследники. Их можно обрабатывать так же, как и проверяемые, но компилятор не требует обязательной обработки.

Пример обработки:

try {
    int result = 10 / 0; // ArithmeticException
} catch (ArithmeticException e) {
    System.out.println("Деление на ноль!");
}

Однако обычно непроверяемые исключения обрабатывают только там, где можно реально восстановить нормальную работу программы. В остальных случаях лучше дать исключению всплыть до верхнего уровня и там обработать (например, записать в лог).