Обязательно ли обрабатывать исключения, если в вызываемом методе используется throws

Нет, обработка исключений не обязательна, если метод объявлен с throws. В таком случае исключение можно пробросить дальше по стеку вызовов. Однако, если исключение проверяемое (checked), его нужно либо обработать в try-catch, либо объявить в сигнатуре вызывающего метода с throws.

Пример:

void methodA() throws IOException {
    methodB(); // пробрасываем исключение
}

void methodB() throws IOException {
    throw new IOException("Error");
}

Для непроверяемых исключений (unchecked, например RuntimeException) объявление throws не требуется, но можно использовать для документации.