Является ли Controller бином в Spring

Да, Controller является бином в Spring. Он помечается аннотацией @Controller (или @RestController), которая является специализированной версией @Component, поэтому автоматически обнаруживается при сканировании компонентов и регистрируется в контексте приложения.

Пример:

@Controller
public class MyController {
    @GetMapping("/hello")
    public String sayHello() {
        return "Hello, World!";
    }
}

Контроллеры управляются Spring IoC-контейнером, могут внедрять зависимости через @Autowired и участвуют в AOP (например, для обработки исключений через @ExceptionHandler).