Можно ли не писать тело в POST-запросе

Да, можно. Технически POST-запрос может быть отправлен без тела, но это противоречит его семантике. POST предназначен для отправки данных на сервер, поэтому отсутствие тела делает запрос бессмысленным с точки зрения HTTP-спецификации. Однако сервер может обработать такой запрос, если его API это предусматривает.

Пример с fetch:

fetch('/api/endpoint', {
  method: 'POST',
  headers: {
    'Content-Type': 'application/json'
  }
  // body отсутствует
});

На практике лучше избегать таких запросов. Для запросов без тела логичнее использовать GET или другие методы в зависимости от контекста.