Можно ли обойтись без Promise

Да, можно, но это усложнит асинхронный код. Вместо Promise можно использовать колбэки, но это приводит к "аду колбэков". Также есть async/await (который всё равно использует Promise под капотом). Для простых случаев подойдёт setTimeout или EventTarget.

Пример с колбэками:

function fetchData(callback) {
  setTimeout(() => callback('data'), 1000);
}

fetchData((data) => console.log(data));

Но Promise делают код чище:

function fetchData() {
  return new Promise(resolve => {
    setTimeout(() => resolve('data'), 1000);
  });
}

fetchData().then(console.log);

Без Promise сложнее обрабатывать ошибки и комбинировать асинхронные операции.