Можно ли перейти с сайта project.com на API api.project.com

Да, можно, но есть ограничения из-за политики CORS (Cross-Origin Resource Sharing). Браузеры блокируют запросы между разными доменами, если сервер не разрешает их явно.

Решение:

1. Настроить CORS на сервере api.project.com, добавив заголовки:

Access-Control-Allow-Origin: https://project.com  
Access-Control-Allow-Methods: GET, POST, OPTIONS  

2. Использовать прокси на бекенде project.com, который перенаправляет запросы к API.

3. Если API поддерживает JSONP (устаревший метод), можно использовать его для GET-запросов.

Пример запроса с CORS:

fetch('https://api.project.com/data', {  
  method: 'GET',  
  headers: { 'Content-Type': 'application/json' },  
  credentials: 'include' // если нужны куки  
})  
.then(response => response.json())  

Без CORS или прокси запросы будут отклонены браузером.