Сколько слоев в многослойном перцептроне с линейной функцией активации нужно, чтобы апроксимировать полином третьей степени

Для аппроксимации полинома третьей степени достаточно одного скрытого слоя в MLP, даже с линейной функцией активации. Теоретически, линейные слои могут комбинироваться для представления полиномиальных функций, но на практике для нелинейных зависимостей требуются нелинейные активации (ReLU, sigmoid и т.д.).

Пример с PyTorch (для иллюстрации, но с нелинейной активацией):

import torch.nn as nn

model = nn.Sequential(
    nn.Linear(1, 10),  # скрытый слой
    nn.ReLU(),          # нелинейность
    nn.Linear(10, 1)    # выход
)

Без нелинейностей MLP вырождается в линейную модель, независимо от числа слоев. Для полинома 3-й степени лучше использовать нелинейные активации или явные полиномиальные фичи.