Есть ли тело запроса только в POST-запросе

Нет, тело запроса может быть не только у POST-запроса. Хотя POST чаще всего ассоциируется с передачей данных в теле, другие HTTP-методы тоже могут его содержать:

• PUT – для обновления ресурса
• PATCH – для частичного обновления
• DELETE – иногда используется для передачи данных при удалении
• Даже GET теоретически может иметь тело (хотя на практике это редко используется и не поддерживается некоторыми библиотеками)

Пример POST-запроса с телом:

fetch('/api/data', {
  method: 'POST',
  headers: {
    'Content-Type': 'application/json'
  },
  body: JSON.stringify({ key: 'value' })
});