Работает ли localStorage на нескольких доменах

Нет, localStorage ограничен одним доменом (протокол + домен + порт). Данные из одного домена не доступны другому, даже если это поддомены (example.com и sub.example.com).

Обходные пути:

1. postMessage — обмен данными между вкладками/iframe.
2. Серверная синхронизация — сохранение данных на бэкенде.
3. Куки с общим доменом (domain=.example.com), но они ограничены в размере (~4KB).

Пример обмена через postMessage:

// Отправитель (вкладка 1)
window.opener.postMessage({ key: 'data', value: '123' }, 'https://example.com');

// Получатель (вкладка 2)
window.addEventListener('message', (e) => {
  if (e.origin === 'https://example.com') {
    localStorage.setItem(e.data.key, e.data.value);
  }
});